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数学 における算術幾何数列 (さんじゅつきかすうれつ、仏 : suite arithmético-géométrique ; 英 : arithmetico–geometric sequence )は、一次の 漸化式 を満足する数列 で、算術数列 および幾何数列 をともに一般化する[注釈 1] 。
ここでは任意の可換体 K をひとつ固定する(例えば実数 体 ℝ や複素数 体 ℂ )。K に値をとる数列
(
u
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
が算術幾何数列 であるとは、K の適当な元 a, b が存在して、その数列が以下の漸化式
u
n
+
1
=
a
u
n
+
b
(
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )}
を満足するときに言う。
[1]
注意
途中の番号から始まる列 (un )n ≥n 0 は、vp = u n 0 +p と置くことにより、常に (vp )p ∈ℕ なる形に書き直せる[2] 。そのような列 (un ) が n ≥ n 0 において上記の漸化式を満たすことと、(vp )p ∈ℕ が算術幾何的であることとは同値になる。
算術幾何数列は二階線型回帰数列 で、斉次線型漸化式
u
n
+
1
=
(
a
+
1
)
u
n
−
a
u
n
−
1
{\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}}
の解として与えられる。
算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる:
b
=
u
n
2
−
u
n
−
1
u
n
+
1
u
n
−
u
n
−
1
.
{\displaystyle b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.}
算術幾何数列の階差数列
w
n
=
u
n
+
1
−
u
n
{\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}}
は、公比 a の幾何数列 である。
算術幾何数列の部分和 の列 Sn は三階の線型回帰数列で
S
n
+
1
=
(
a
+
2
)
S
n
−
(
2
a
+
1
)
S
n
−
1
+
a
S
n
−
2
{\displaystyle S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}}
を満足する。
部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。
一般項 [ 編集 ]
a = 1 の場合[ 編集 ]
a = 1 のとき、漸化式は、
u
n
+
1
=
u
n
+
b
(
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )}
となり、これは
算術数列 の漸化式であるから、一般項は
u
n
=
u
0
+
n
b
(
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )}
となる。
a ≠ 1 の場合[ 編集 ]
r
=
b
1
−
a
{\textstyle r={\frac {b}{1-a}}}
と置けば、一般項は
u
n
=
a
n
(
u
0
−
r
)
+
r
(
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )}
で与えられる(
a = n = 0 のときは
00 = 1 と約束する)。
まず付随する函数 x ↦ ax + b に対し f (r ) = r を満たす点 r (f の不動点 )を求めると、
a
r
+
b
=
r
⟺
r
=
b
/
(
1
−
a
)
.
{\displaystyle ar+b=r\iff r=b/(1-a).}
と書ける。ここで
v
n
=
u
n
−
r
{\textstyle v_{n}=u_{n}-r}
と置けば、漸化式
u n + 1 = aun + b は
v n + 1 + r = a (vn + r ) + b から
v
n
+
1
=
a
v
n
+
a
r
+
b
−
r
=
a
v
n
{\displaystyle v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}}
となり、数列
(vn ) は公比
a の
幾何数列 を成す。したがって
u
n
=
v
n
+
r
=
a
n
v
0
+
r
=
a
n
(
u
0
−
r
)
+
r
.
{\displaystyle u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.}
階差による証明
一階の差分 w n = u n + 1 – un をとれば、算術幾何数列の線型漸化式 は
w
n
+
1
=
u
n
+
2
−
u
n
+
1
=
(
a
u
n
+
1
+
b
)
−
(
a
u
n
+
b
)
=
a
(
u
n
+
1
−
u
n
)
=
a
w
n
{\displaystyle w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}}
となり、数列
(wn ) は公比
a の幾何数列で、初項
w
0
=
u
1
−
u
0
=
a
u
0
+
b
−
u
0
=
(
a
−
1
)
u
0
+
b
{\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b}
を持つ。したがって、
幾何級数の部分和の公式 から、任意の
自然数 n に対して(
n = 0 のときは
空和 は零とする規約を用いて)、
∑
0
≤
k
<
n
w
k
=
w
0
a
n
−
1
a
−
1
=
(
a
−
1
)
u
0
+
b
a
−
1
(
a
n
−
1
)
{\displaystyle \sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)}
と書ける。これは
r = b /(1 – a ) と置けば
u
n
−
u
0
=
(
u
0
−
r
)
(
a
n
−
1
)
{\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)}
だから、所期の式
u
n
=
(
u
0
−
r
)
(
a
n
−
1
)
+
u
0
=
a
n
(
u
0
−
r
)
+
r
{\displaystyle u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r}
に達する。
定義節の注意 に従えば、より一般に:
u
n
=
a
n
−
n
0
(
u
n
0
−
r
)
+
r
(
∀
n
0
∈
N
,
∀
n
≥
n
0
)
{\displaystyle u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})}
と書ける。
部分和 [ 編集 ]
a ≠ 1 で、常に r = b /(1 – a ) と書くことにすれば、最初の n 項(第 0 -項から第 (n − 1) -項まで)の和は
S
n
=
∑
k
=
0
n
−
1
u
k
=
(
u
0
−
r
)
1
−
a
n
1
−
a
+
n
r
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr}
で与えられる。
証明
前節の一般項の式 に従えば、幾何数列の部分和の公式 も用いて、
∑
k
=
0
n
−
1
u
k
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
(
u
0
−
r
)
+
r
)
=
(
u
0
−
r
)
(
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
)
+
n
r
=
(
u
0
−
r
)
1
−
a
n
1
−
a
+
n
r
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}}
これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 n > p として
∑
k
=
p
n
−
1
u
k
=
S
n
−
S
p
=
(
u
0
−
r
)
a
p
−
a
n
1
−
a
+
(
n
−
p
)
r
{\displaystyle \sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r}
となる。
収束性 [ 編集 ]
一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限 も a の値(必要ならば u 0 – r の符号も)によって決定することができる(a ≠ 1 のとき r = b /(1 – a ) と置いたことに注意)。
|a | < 1 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと r である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係 である。このような特徴は(ロジスティック列 のような)非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖 において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。
算術幾何数列は、ある種の人口変動(変動率が一定)のモデリングとして現れる。例えば、常に 10 の流入と 5% の流出があることを
u
n
+
1
=
u
n
+
10
−
5
100
×
u
n
{\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}}
と書ける。
算術幾何数列は返済計画 (フランス語版 ) にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、n か月後に残った借金 Rn の成す数列 (Rn ) は漸化式
R
n
+
1
=
(
1
+
t
)
R
n
−
M
{\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M}
を満たし、算術幾何数列を成す。
算術幾何数列は二状態マルコフ鎖 にも現れる。推移確率行列 (英語版 ) を
(
a
1
−
a
1
−
b
b
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}}
とすると、関係式
(
p
n
+
1
,
q
n
+
1
)
=
(
p
n
,
q
n
)
(
a
1
−
a
1
−
b
b
)
{\displaystyle (p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}}
から
p
n
+
1
=
a
p
n
+
(
1
−
b
)
q
n
{\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}}
が得られ、一方
q
n
=
1
−
p
n
{\textstyle q_{n}=1-p_{n}}
であったから、代入して
p
n
+
1
=
(
a
+
b
−
1
)
p
n
+
1
−
b
{\displaystyle p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b}
を得る。
^ 定義により、算術級数は一次の係数が 1 の、幾何級数は定数項が 0 の一次漸化式をそれぞれ持つのであった。
^ Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант . — 1975. — № 1. — С. 36—39.
^ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[要文献特定詳細情報 ]
^ J.-P. Ramis および A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1 , Dunod , coll. « Sciences Sup », 2013 , 2e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne ) , p. 534 .
関連項目 [ 編集 ]